Théorème de Varignon
Le théorème de Varignon regroupe plusieurs démonstrations de Pierre Varignon concernant le quadrilatère :
- Si l'on joint les milieux des quatre cotés d'un quadrilatère quelconque, on obtient un parallélogramme.
- Si l'on joint les milieux des quatre cotés d'un carré, on obtient un deuxième carré.
- Le périmètre du parallélogramme formé (voir 1 et 2) est égal à la somme des longueurs des deux diagonales du quadrilatère d'origine.
Sommaire
Démonstrations
Démontrer que EFGH est un parallélogramme
Étape 1 :
Je sais que CBD est un triangle, H est le milieu de [DC], G est le milieu de [BC].
Or si dans un triangle, une droite passe par les milieux de 2 côtés, alors elle est parallèle au 3e.
Donc (BD) est parallèle à (HG).
Étape 2 :
Je sais que ABD est un triangle, E est le milieu de [AD], F est le milieu de [AB].
Or si un segment joint les milieux de 2 côtés, alors il a pour longueur la moitié de celle du 3e côté.
Donc EF est égal à DB/2
Étape 3 :
Je sais que (HG) est parallèle à (DB) et (DB) est parallèle à (EF).
Or si deux droites sont parallèles et qu'une 3e droite est parallèle à l'une d'elle, alors elle est aussi parallèle à l'autre.
Donc (HG) est parallèle à (EF).
Étape 4 :
Je sais que DBC est un triangle, H est le milieu de [DC], G est le milieu de [BC].
Or si dans un triangle un segment joint les mileux de 2 côtés, alors il a pour longueur la moitié de celle du 3e côté.
Donc HG = DB / 2
Étape 5 :
Je sais que ABD est un triangle, E est le milieu de [AD] et F est le milieu de [AB].
Or si dans un triangle un segment joint les milieux de 2 côtés, alors il a pour longueur la moitié de celle du 3e côté.
Donc EF = DB / 2
Comme HG = DB / 2 et EF = DB / 2, alors HG = EF
Étape 6 :
Je sais que HG = EF et que (HG) est parallèle à (EF).
Or si dans un quadrilatère 2 côtés opposés sont à la fois de même longueur et parallèles, alors c'est un parallèlogramme.
Donc IJKL est un parallélogramme.
Démontrer que le périmètre de EFGH est égal à la somme de AC et BD
Étape 1 :
Je sais que ABD est un triangle, E est le milieu de [AD], F est le milieu de [AB].
Or si dans un triangle un segment joint les milieux de 2 côtés, alors il a pour longueur la moitié du 3e côté.
Donc EF = BD / 2
Étape 2 :
Je sais que CBD est un triangle, G est le milieu de [CD], H est le milieu de [CB].
Or si dans un triangle un segment joint les milieux de 2 côtés, alors il a pour longueur la moitié de celle du 3e côté.
Donc GH = BD / 2
Comme EF = BD / 2 et GH = DB / 2, alors EF + GH = DB
Étape 3 :
Je sais que ACD est un triangle, E est le milieu de [AB], H est le milieu de [DC].
Or si dans un triangle un segment joint les milieux de 2 côtes, alors il a pour longueur la moitié de celle du 3e côté.
Donc EH = AC / 2
Étape 4 :
Je sais que ACB est un triangle, F est le milieu de [AB], G est le milieu de [BC].
Or si dans un triangle un segment joint les milieux de 2 côtés, alors il a pour longueur la moitié du 3e côté.
Donc FG = AC / 2
Comme EH = AC / 2 et FG = AC / 2, alors EH + FG = AC
Comme EF + GH = DB et que EH + FG = AC
alors le périmètre de EFGH est égal à AC + DB
Démontrer que IJKL est un parallélogramme
Étape 1 :
Je sais que I est le milieu de [AB], L est le milieu de [AD] et que ABD est un triangle.
Or si dans un triangle une droite passe par les milieux de 2 côtés, alors elle est parallèle au 3e côté.
Donc (IL) est parallèle à (BD).
Étape 2 :
Je sais que CBD est un triangle, J est le milieu de [BC] et K est le milieu de [DC].
Or si dans un triangle une droite passe par les milieux de 2 côtés, alors elle est parallèle au 3e côté.
Donc (JK) est parallèle à (BD).
Étape 3 :
Je sais que (IL) est parallèle à (BD) et que (JK) est parall¨le à (BD).
Or si deux droites sont parallèles à une même droite alors elles sont parallèles.
Donc (IL) est parallèle à (JK).
Étape 4 :
Je sais que I est le milieu de [AB], J est le milieu de [BC] et que ABC est un triangle.
Or si dans un triangle une droite passe par les milieux de deux côtés alors elle est parallèle au troisième.
Donc (IJ) est parallèle à (AC).
Étape 5 :
Je sais que ADC est un triangle, Lest le milieu de [AD] et K est le milieu de [DC].
Or si dans un triangle une droite passe par les milieux de 2 côtés alors elle est parallèle au troisième.
Donc (LK) est parallèle à (AC).
Étape 6 :
Je sais que (LK) est paralèle à (AC) et que (IJ) est parallèle à (AC).
Or si 2 droites sont parallèles à une même droite alors elles sont parallèles.
Donc (LK) est parallèle à (IJ).
Étape 7 :
Je sais que IJKL est un quadrilatère, (IL) est parallèle à (JK), (LK) est parallèle à (IJ).
Or si dans un quadrilatère les côtés opposé sont parallèles alors c'est un parallélogramme.
Donc IJKL est un parallélogramme.